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二叉搜索树,也叫二叉查询树,它的优势,顾名思义,就在于查询。一般在链表或者向量中查询一个元素,需要 O(n) 的时间复杂度,而对于搜索二叉树,最好情况可以仅用 O(lgn) 的复杂度。因此它善于大量数据的检索。
二叉搜索树与一般的二叉树不同在于它的元素分布,有如下特点: 对于每个结点,左子树(如果存在)的关键字大小小于该节点的关键字,右子树(如果存在)的关键字大于该结点的关键字大小。 在《算法导论》中,作者给出了二叉搜索树的一些基本操作(查询、插入、删除等)的伪码,但没有明确说明构造方法(只有一种随机构造方法,使用不断插入新结点的操作构造二叉树)。这里我想了一些别的方法来构造:假设输入的数据是一个整型向量
vector<int>data
树结点类: class Ctree{ int key; Ctree*left,*right,*parent;public: Ctree(vector data);};
我们假设data已经被排序。而对于二叉搜索树来说,对它的中序遍历就是输出(从小到大)的关键字排序。
//中序遍历Ctree::walk(){ if(left)left->walk(); ShowKeyValue(); if(right)right->walk();}
因此似乎可以逆向思考,用遍历的顺序来构造。但这里存在一个问题。如下图:
如下是失败的思考:
根据二叉搜索树的定义,第三个结点放在2的右子树或者双亲都可以,为了构造更平衡的二叉树以获得更好的查询性能,这里可以额外使用一个变量记录二叉树的深度,使得每次构造都是从接近底部的地方生长。这个图中,放在右子树明显比放在双亲要好。 ——这里其实走进了一个误区。后来我突然明白:一种遍历序列是没有办法确定一颗二叉树的,如果按照这种思路,算法会很麻烦。 于是(经过一晚上睡觉之后,才突然想到的),应该用两种序列来确定二叉树。我们可以想到另外一种序列:先序遍历。而对已排序的数组有一种查询方法,叫二分查找法,就相当于先序遍历的序列。 假设向量长L,我们在L/2处(为奇数则向下取整)选取该元素,作为根节点的关键字,然后[0,L/2)的向量对左子树递归上过程,对[L/2,L)右子树递归如上过程,这样构造出的二叉搜索树是平衡的。 构造函数如下:Ctree::Ctree(vector ::iterator p,int len){//假设初始的p不是空的 使用迭代器 key = p[len / 2]; if (len / 2 - 1 >= 0){ left = new Ctr(p, len / 2); } else{ left = nullptr; } if (len / 2 + 1 < len){ right = new Ctr(p+ len / 2 + 1, len/2); } else{ right = nullptr; } }
按如下方式使用:
vector vec = { 1,2,3,4,5,6,7};Ctree ctr(vec.begin(),vec.size());
总结:
学习二叉树有一周时间了,很多细节操作都不甚明了。但我觉得对于其意义的理解更为重要。构造得越平衡的二叉树性能越好,许多操作的时间复杂度都接近了 log(n) ,这是二叉树在处理大量数据上的一大优势。 这里我只提到了最普通的二叉搜索树,而且没有考虑到插入删除对其平衡性的影响,只单论其构造。要维持二叉树的动态平衡,必须要加其他特性来约束。比如红黑树、AVL树,就是为了二叉树的平衡而提出的。